神经质量模型的全局动力学-厦门医学论文发表

杰拉尔德·考绍尔耶·库雷 ，理查德·埃瓦尔德·罗施，卡尔·约翰·弗里斯顿

发布时间：10 年 2023 月

抽象

神经质量模型用于模拟皮质动力学，并解释使用脑电图和磁图测量的电场和磁场。仿真表明这些类型的模型具有复杂的相空间结构;包括静止点和极限循环以及不同活动模式之间的分叉和过渡的可能性。这种复杂性使神经质量模型能够描述大脑动力学的巡回特征。然而，如果没有额外的简化假设，表达性的非线性神经质量模型通常很难拟合到经验数据中：例如，系统可以建模为围绕固定点的线性扰动。在这项研究中，我们提供了神经质量模型的数学分析，特别是规范微电路模型，提供了描述皮质活动类型（即动态流动）缓慢变化的分析解决方案。我们推导出高达相流二阶的扰动分析，以及绝热近似值。这使我们能够以相对简单的数学格式描述振幅调制，为皮质柱尺度上皮质动力学半稳定状态的存在提供分析原理证明。这项工作允许神经质量模型的模型反演，不仅围绕固定点，而且在包含振荡活动半稳定或多重稳定状态之间跃迁的相空间区域。至关重要的是，这些理论结果说明了多种半稳定大脑状态背景下的模型反转，例如癫痫发作间期、发作前和发作期活动之间的过渡。

作者摘要

有证据表明大脑的电活动非常复杂。脑电图和磁脑图是非侵入性方法，通常用于测量人类的大脑功能，并提供了大量表明复杂性的数据。此外，需要一个定量框架来了解大脑电活动不同特征之间的相互作用。神经质量模型可以提供进一步理解大脑活动和复杂性所需的定量框架，在本文中，我们提供了一种数学形式，可用于理解大脑的一些复杂电动力学。至关重要的是，这些理论结果提高了我们对癫痫中多种半稳定大脑状态的理解。

引文： Cooray GK，Rosch RE，Friston KJ （2023） 神经质量模型的全局动力学。公共科学图书馆计算生物学19（2）： e1010915. https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1010915

编辑 器： 莱尔·格雷厄姆，巴黎笛卡尔大学，法国国家科学研究中心

收到： 28月 2022， 3;接受： 2023年10月2023日;发表： <>月 <>， <>

版权所有： ? 2023 库雷等人。这是一篇根据知识共享署名许可条款分发的开放获取文章，该许可允许在任何媒体上不受限制地使用、分发和复制，前提是注明原作者和来源。

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资金： KJF得到了惠康人类神经影像中心（批准号：205103/Z/16/Z）和加拿大-英国人工智能计划（批准号：ES/T01279X/1）的资金支持。RER由威康信托基金会（赠款号：209164/Z/17/Z）提供资金支持。KJF和RER得到了欧盟地平线2020研究与创新框架计划，人脑项目SGA3（批准号：945539）的支持。资助者在研究设计、数据收集和分析、发表决定或手稿准备方面没有任何作用。

竞争利益： 任何作者都没有竞争利益。

这是一篇PLOS计算生物学方法论文。

介绍

人脑表面被灰质皮层覆盖。该皮层包含组织学上可区分的层，具有层流特异性类型的神经细胞，显示出模式化的层间连接[1]。皮质也由皮质柱组成，在柱内显示层间突触连接比相邻柱之间的水平连接更密集[2]。每个皮质柱内的集合神经元活动产生细胞外电流，可以使用具有相对高空间精度的微电极进行测量;或更粗略地说，通过局部场电位记录的净平均电流[3]。如果需要，请参阅术语表列表，了解论文中的技术术语（S2 文本）。

有许多方法可以在皮质柱的规模上模拟神经元活动的动力学。描述具有阈值放电的简化单神经元动力学的一维模型;也就是说，整合和激发神经元[4]可以模拟中间神经元连接对更大规模动力学的影响，例如在皮质柱内和皮质柱之间观察到的那些。然而，这些方程通常会导致积分微分方程或偏微分方程（定义请参见S2文本），这些方程通常难以求解，至少在封闭形式下是这样，尤其是在考虑较大的神经元系统时[5，6]。

使用统计物理学的近似方法，由不同细胞类型的群体组成的皮质微电路的集体活动（或集合活动）已被建模为神经质量点过程（定义请参见S2文本）[7-12]。神经质量模型大致有两组：（1）基于霍奇金-赫胥黎模型的基于传导的模型，对离子通道的内在动力学进行特定建模[13]，可以允许多室扩展[14，15];（2）基于卷积的模型，其中使用简单的突触核来估计突触前输入的突触后去极化。这些基于卷积的模型计算效率高，同时允许模拟一系列复杂的动力学。规范微电路模型（CMC）是这些基于卷积的神经质量模型的典型例子。它包括4个群体，已被广泛用于模拟EEG和MEG数据[16]。在此设置中，理想化的皮质柱使用一组 2德·-使用非线性耦合对微分方程进行排序，使用sigmoid函数来映射一个群体的神经元电位对另一个群体去极化的影响（有关定义，请参阅S2文本）。

在这项研究中，我们分析了基于卷积的神经质量模型的动力学，特别是规范微电路模型[16]。当考虑空间粗粒度动力学（通常记录在人类神经生理学记录中）时，这些类型的模型在准确性和复杂性之间提供了平衡。换句话说，它们有足够的表现力来捕捉皮质柱尺度上的神经元动力学，同时在用于解释经验时间序列时足够简单以排除过度拟合。

皮层的电活动可以很容易地使用脑电图或脑磁图（EEG / MEG）记录。对随后的时间序列的视觉分析揭示了明显的随机特征（例如阵发性放电）与循环节律混合在一起。节律和阵发性放电的频率、位置和进展各不相同，可见于正常和患病脑的各种状态[3]。对大脑状态的定量分析表明，这些反复出现的、可识别的模式可以建模为半稳定状态，即具有局部稳定性而非全局稳定性的状态[10，17-20]。重要的是，这些动力学特征是全脑（功能障碍）的敏感标志物，可以指示突触水平神经元连接的药理学和病理生理学变化[21-23]。因此，开发皮质动力学的生物物理模型可能有助于识别形成大脑活动的阵发性和时变动态特征的突触和连接过程。

这些系统的动力学结构（例如神经质量模型）可以使用相空间表示来表征（有关定义，请参阅S2文本）。皮质柱神经质量模型动力学的模拟揭示了该相空间中的复杂结构[24-26]。这些包括静止点、极限循环和混沌吸引子（有关定义，请参阅 S2 文本）。然而，目前许多流行的将神经质量模型拟合到经验数据的方法，如动态因果建模，假设动力学以准稳定状态存在，没有不同动态模式之间的转换[27]。因此，有必要开发必要的工具，将皮质功能的生物物理模型与更复杂的、时变的和阵发性的脑动力学（例如，癫痫的癫痫发作活动）联系起来。

神经质量模型（时间尺度分离）在分析电生理数据（尤其是癫痫发作活动）方面的理论和实证应用多种多样[28-33]。Jirsa等人的一篇开创性论文优雅地模拟了癫痫发作活动，以分叉的形式，使用具有两个神经质量和“介电常数”变量的神经质量模型，引入了时间尺度的分离。慢介电常数变量反映了化学变化，例如电解质的变化或代谢稳态。这项工作在计算管道中得到了进一步的阐述，可以应用于癫痫手术评估中记录的特定患者数据[34]。癫痫模型与规范微电路模型不同，因为后者没有明确的多个时间尺度。然而，我们在本文中表明，神经质量模型确实具有隐含的时间尺度变化，这可以解释癫痫模型描述的现象。我们用来研究神经质量模型隐含时间尺度的方法是动力系统研究的标准技术[35，36]，癫痫模型的作者也提到了这种方法[37]。

在下文中，我们将估计规范微电路（CMC）模型的半稳定（即多稳态）状态。我们使用绝热近似对快速变化的变量进行积分，以推导出隐含的慢速时间尺度动态。对于这种缓慢演变的状态，我们添加了布朗噪声（以模型的未知变化建模，请参阅S2文本以获取定义），允许半稳定状态之间的转换。更具体地说，平均活动的动态成为潜在函数上的梯度流（有关定义，请参见 S2 文本）。至关重要的是，该公式可用于生成关键度量，例如瞬态振荡模式的频率和持续时间，即。巡回活动的特点。使用该公式，我们简要考虑了可用于根据占用的经验测量和不同活动模式的平均退出时间估计突触连通性的变分方法。理论结果说明了在大脑疾病（包括癫痫）中看到的动态巡回的潜在特征，以计算可处理的方式，可以纳入已建立的（变分）模型反演方案，例如动态因果建模。

方法

本节介绍拟议分析所依据的正式结果。这一分析可以按照以下思路以叙述形式概括：

首先，确定一个足够表达的神经质量模型，其运动方程根据突触连接进行参数化。

通过适当的变量变换，本着绝热近似的精神，将快速（振荡）动力学与慢速（振幅）波动分开。

以相对简单的数学形式表述慢速变量的动力学。更准确地说，将动力学定义为潜在函数上的梯度流。这个势函数现在可以作为稳态密度的负对数;即，描述随机波动下密度动力学的福克普朗克方程的解（定义请参见S2文本）。

从稳态密度中，评估在慢速变量的状态空间中占据各种不动点的概率，以生成停留时间和转换的统计数据。

使用上述步骤作为生成模型 - 从突触连接生成停留时间的统计信息 - 从经验观察到的（快速）振荡活动模式之间的（慢）转换的统计数据中推断连接性。

在下文中，我们描述了上述步骤的数学基础，并提出了一个简短的说明性应用，使用模拟数据来恢复导致振荡活动瞬态爆发的连通性。

CMC模型动力学

皮质柱的电活动可以使用CMC模型进行建模，如[16，27]中所述。为了保持推导简单，并确保可读性，我们将在此处重命名一些参数，而不改变系统的动态。该模型考虑了使用一组四个 2德·阶微分方程。这些常微分方程可以等价地写成八个一阶方程。

其中第 i 个神经群体的电位由 q 给出我其变化率由p我（即当前术语）。我们引入了 2 个变量μ和ε来控制非连接模型的扰动效应，其中连接矩阵由 g 给出ij.S形函数（S）用于参数化神经元群的潜在项和当前项之间的相互作用。P 函数参数化了尖峰速率变异性。

原始变量 （q我， p我） 可以写成一个复变量 （∈C），这将使推导相对简洁且易于遵循。

未受干扰运动的闭环将由下式给出，

未受扰动的方程将由下式给出，

解决方案将由以下人员给出，

然后，轨迹的运动可以通过模量 （R） 和参数 （θ我） 的复数 （z我），图1。

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图1. 示意图显示了变量（q，p）与振幅和角度变量之间的关系。

蓝色曲线显示了未受干扰的轨迹（无阻尼，与其他神经元群没有耦合）。红色曲线描绘了受扰路径的轨迹。显示了新轨迹（红色）点的振幅 （R） 和角度变量 （θ）。

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我们引入了一个新的相位变量φ我描述当μ和ε = 0时相流围绕其值的偏差，即没有扰动。

由此产生的运动方程可以由下式给出，

(1)

绝热近似

上述运动方程可以在以下假设下简化：相动力学的时间尺度（由ω我） 相对于振幅动力学的时间尺度而言很小。在模拟皮质活动时，这一假设具有经验有效性，因为皮质节律或尖峰振幅的振幅调制在比相位动力学更慢的时间尺度上演变（至少慢10-100倍）[28，38]。

在上述公式中，可以通过限制ε和μ的范围来满足这一绝热假设。由此产生的绝热近似是振幅变量的简化模型（即 4 维模型），它允许根据闭合形式解进一步分析动力学。随后绝热近似的有用性可以通过模型解释经验数据的能力来评估（见最后一节）。

绝热近似可以用持续时间 （T） 指定，其中每个神经元群将完成 - 为 0千顺序（请参见扰动分析）- 一系列循环。角度变量在 4 维圆环上移动（定义请参见 S2 文本），并且选择 T 以使环面上的运动完成（或大约完成）一个循环，并且角度变量可以从动力流中消除 [35]。

结果

进一步分析动态

现在可以使用以下展开进行方程 1 的扰动分析φ我和 R我（以模参数形式，请参阅S2文本了解定义）。

如果这两个术语将由以下人员给出，

从状态流中，我们得到以下内容，

可以写成，

所得方程现在可以积分在环面上的闭合（或几乎闭合）路径上，从而消除角度变量。为了执行这种积分，我们将扰动函数 S 和 P 扩展为多项式级数。我们现在能够推导出 R 的变化我通过结合附录（S.1.1-1）中得出的结果，到一阶：

R的动态我由 2 个耦合项决定：电位-电流耦合 （S） 和电流-电流耦合 （P）。耦合函数（S 和 P）的非线性导致 R 倍数的序列展开我.幅度参数的动力学复杂度由连通矩阵和耦合函数决定。

这些参数在皮质列中通过参考神经元群体之间的突触连接来定义，其中每个连接的增益由 g 给出ij以及它们对S和P中参数化的目标神经元的生理影响。 请注意，上述推导对任何等于或大于两个神经元群的集合都有效。

幅度调制的动力学

皮质活动的电或电流记录通常被建模为每个神经元群电位活动的线性组合[39]。这可用于推导出记录数据的振幅动态的一维运动方程。如上所示，振幅动力学将由自连接项 g第二.皮质柱内的自相互作用将导致一组非相互作用的极限循环（最多需要 1圣来自扰动的顺序贡献）。

振幅包络动力学

测量电位（例如，EEG）由（假设线性导联场）给出。

(2)

振幅功率可以很容易地估计，只要ω我是不同的。

我们现在可以规范化 q我S.T

R将是球体的半径，如果所有我在 R 给出的向量空间中是常数我.振幅函数R的变化率如下。

由于我们对 R 的平均变化率感兴趣，我们将取常数 R 的椭球体的空间平均值2.

R 在表面上是恒定的，

超球面坐标（定义请参见 S2 文本）用于积分（参见 S1 文本、S1.4）。让 Rs是 R 在 3 球面上的平均值，

(3)

如附录中所述，交叉连通性项（或非对角线项）将影响R的动力学s当高阶项包含在扰动展开中时。该方程的函数形式意味着振幅动力学可以表示为电位U上的梯度流，该势取决于突触连接g ij和耦合功能：

换句话说，不同的连接矩阵和函数对应于不同的电位（U）：见图2。然后，该频谱定义了CMC模型支持的不同动力学可能性。图A显示最小值为0和2。图B有三个稳定点，分别位于0、1和2（见S1文本，S1.1-3）。这表明CMC模型 - 具有某些突触连接 - 具有连续的高振幅振荡和原点的稳定点。振荡将是正弦活动的混合物，具有四个神经群的频率，其中这种混合物由铅场决定（方程2）。

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图2. 神经元亚群之间不同连接的总振幅（R）动态的电位分布。

这里选择了不同的连接矩阵和耦合来说明潜在函数的范围。这些函数中U的最小值是稳定点吸引子（A）第一个示例在原点和R = 2处有两个稳定点。（B）第二个图在原点和R = 1和2处有三个稳定状态。

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图2中的势分布U是由表层锥体细胞层中的一个自连通项产生的。到目前为止，我们一直在考虑在没有噪声的情况下的确定性动力学。在下文中，我们通过对密度动力学的分析表明，在随机波动的情况下，相同的动力学结构仍然存在。

图3显示了推导出脑电图调幅的动力学方程的步骤示意图。

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图3. 为推导出振幅动态而采取的步骤示意图。

起点是 4 个种群 CMC 模型。模型的活动为四个种群中的每一个生成活动，如箭头“4 种群动态”后所示。然后，EEG导联场将采用4个群体活动的线性混合物，从而产生“EEG”曲线。活动的幅度调制由红色曲线绘制。本文讨论的绝热和摄动分析将定义在箭头“扰动展开”之后绘制的梯度场。梯度字段将取决于连通性矩阵 G。振幅变量的可能轨迹显示为从一个稳定状态移动到另一个稳定状态的红色箭头。振幅随时间的相应变化显示在“EEG曲线”上方红色箭头“梯度场动力学”之后。这项工作的主要贡献是找到内在连通性和梯度场之间的直接关系，这反过来将定义统计度量，例如处于特定状态的概率或状态的退出时间。

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静止状态和退出时间

通过向确定性运动方程添加创新，可以很容易地对快速神经元波动进行建模[40，41]。对于上面推导的振幅动力学的势流，我们可以添加一个白噪声（维纳）噪声过程，从而得到一个随机微分方程（SDE）（有关定义，请参阅S2文本）。

然后由以下 SDE 描述轨迹，

在上式中，I 和 Bt是随机变量，而 U 和 σ 是实值函数。相关的福克普朗克方程描述了振幅上的密度动力学，由下式给出：

该方程的平稳状态由下式给出，其中 Z 是分区函数（定义请参见 S2 文本）或等效地，p 的归一化常数）。

有了具有多个稳定状态的连通性矩阵，我们现在可以通过简单地在定义状态的区间内对稳态概率密度函数（即上述福克普朗克方程的解）进行积分来估计在该状态下找到动力系统的概率：见图 4。这提供了噪声引起的多稳态（c.f.，拓扑超对称破坏）的分析估计，即在其中一个固定点或稳定（振荡）状态附近找到幅度动力学的概率。

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图4. 被不同电位最小值吸引的区域（阴影不同）。

找到处于这些稳定状态之一的系统的概率是通过将吸引区间（状态 1 = 浅灰色）、0 到第一个极大值 （R.max） 的电位曲线或 R.max到 ∞（状态 2 = 深灰色）。红色箭头描述了由于底层噪声，轨迹如何在状态 1 和 2 之间通过。

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对于第一个状态，概率由下式给出，

系统处于给定状态的平均持续时间（t）可以使用克莱默逃逸率近似，

最后，由于我们对状态概率和平均退出时间都有封闭形式表达式，因此我们能够从占用的经验度量和可识别振荡状态的平均退出时间中估计连通性矩阵。换句话说，上面的封闭形式表达式为生成模型提供了基础，该模型可以在任何经验数据中明显的振荡模式之间转换的经验度量下进行反转。参见图5，使用动态因果建模中使用的变分程序，针对不同的噪声幅度，对退出时间的模拟数据进行反演。图6显示了模拟的EEG轨迹，说明了系统如何在两种半稳定状态之间移动，从而导致EEG出现爆裂。

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图5. 基于模拟数据的生成模型反演.

左图显示了不同噪声幅度（沿水平轴绘制）从状态2（图4）的平均退出时间（在垂直轴上）。黑色虚线表示已反转的合成数据。蓝色曲线显示连通性矩阵先前值下的预期数据。红色曲线表示预期的退出时间，并带有连通性矩阵的后验值。右侧面板显示了连通性矩阵的先验和后验估计值之间的连通性矩阵变化，表明用于生成数据的连通性参数可以从平均退出时间数据要素中恢复。

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图6. 模拟具有双稳态活性的脑电图轨迹。

该迹线显示了模拟的EEG迹线，其连接矩阵给出了如图4所示的双稳态系统。系统以高振幅振荡（状态 2）爆发，中间有较短的衰减抑制（状态 1）。

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在此原理证明示例中，通过使用SPM软件提供的CMC模型中的先前连接值生成合成数据。合成数据的反演是使用SPM软件包中提供的标准（变分拉普拉斯）反演例程执行的。本文中使用的代码可以从 https://github.com/gercoo/exittimes2synapticconnectivity 获得。此示例表明，用于在振荡状态或模式之间生成转换的连接参数可以仅从平均退出时间恢复。这里的含义是，可以根据潜在的突触连接和快速神经元波动的幅度来解释和利用多重稳定性。这项工作可以应用于研究癫痫和非癫痫组织中的尖峰，因为尖峰间期可以建模为大振幅瞬变的退出时间。然后，所描述的反转方法可以将尖峰频率映射到突触连接，这可用于揭示具有不同致痫性的大脑区域之间的潜在生理差异。

讨论

本文提出了一种基于神经质量模型的多稳定神经元动力学公式，以及随附的分析框架，可以推断出在振荡状态之间产生可观察转变的突触连接参数。我们推导出了半稳定状态统计的闭式表达式，例如状态概率和状态的平均持续时间。

我们的工作建立在先前神经质量建模的理论见解和瞬态大脑状态的经验观察之上。先前对神经质量模型的模拟已经表明，在同一皮质模型中同时存在定点和极限循环动力学[25，42]。此外，根据经验，在健康和患病的大脑中，有几种情况，皮质和皮层下动力学的模式在状态之间反复变化;包括睡眠纺锤体等生理节律、μ节律和癫痫发作活动等病理状态[3，43-47]。事实上，隐含的巡回可能是所有自组织动力系统的标志;从非平衡稳态特征的随机混沌[48-55]到异斜周期[56-58]。

我们在这里考虑的神经质量模型显示了复杂的动力学，可以分为显式快速变量和隐式慢变量。时间尺度上的这种分离允许绝热近似，从而消除了快速模式，从而产生了一组新的慢速变量动力学方程。这组新的慢速变量现在描述了缓慢演变的振幅动力学，而不是快速振荡活动本身。这降低了系统的维数，使其更易于模拟和推理。在这个简化的系统中，可以使用可测量的数据特征（如停留和平均退出时间）来表征几种类型的固定点（代表静止状态或振荡极限周期）。

在这项工作中，我们提出了将皮质微电路突触连接模式与统计数据特征联系起来的闭式方程。这种生成模型允许贝叶斯模型反演和比较，允许对间歇性皮质动力学的不同机制解释进行实证比较。在对相对较快变化的动态（如开和关节律性尖峰或癫痫发作）进行建模时，这可能特别有趣。随着癫痫发作的进展，包括电解或代谢变化在内的几个变量发生变化，这些变化会对皮质动力学产生很大但次要的影响，并可能改变一些关键的连接参数，这将改变本文描述的系统中的快速和慢速动力学[59]。这些较慢的变化也可以使用绝热DCM进行有效建模，其中突触参数缓慢变化的影响包含在模型反转中[60]。

单源CMC模型（即皮质柱）的振幅动力学已被证明通过二阶扰动扩展足以近似。相比之下，皮质柱之间的外在连接可能需要更高阶的扰动项，因此与内在动力学相比强度较弱（至少在扰动扩展有效的参数范围内）。这是由于在两个皮质柱之间创建互连环所需的神经元数量[2，61]。因此，内在（即源内或列内）动力学通过内在连接矩阵在皮质柱中实例化，而外在连通性导致一组弱但更丰富的动态，因为外在（即源间或柱间）连通性可以是多种多样的。这符合皮质处理的结构设置，其中皮质柱表示处理数据的最小单元作为条件独立的单元，并使用较弱的交互集与其他列相互作用[62]。我们将进一步发展这里提出的扰动理论，以包括高阶项，以查看是否可以表征皮质柱之间的相互作用。

在没有连通性变化的情况下，我们的扰动扩展足以解释皮质柱内皮层活动模式的半稳定状态（即静止状态和全动力学的极限循环）。使用扰动展开，我们设法从描述皮质柱内连通性的连通性矩阵中推导出皮质柱半稳定状态的特征。这是一个重要的步骤，因为我们现在可以将复杂皮质动力学的统计特征映射到突触连接上。从建模角度理解更大的皮层网络可以使用上述模型的离散简化进一步实现。通过皮质柱动力学的投影映射到它在任何给定时间所占据的半稳定状态，有可能大大简化事情。这应该保留连接和生成的半稳定状态之间的重要链接。连接不同的皮质柱可以产生皮层的晶格模型（类似于伊辛或波特模型），将内在和外在连接与可测量的动力学联系起来相对简单[63，64]。我们工作的这种扩展将被证明与致痫网络的特征及其在癫痫发作开始和传播中的作用特别相关。此外，药物的影响可以从内在连通性的变化和网络动力学的天花板变化来解决。最后，可以通过外在连接的变化来模拟癫痫手术或断开手术的效果;C.F. [65–67]

将这项工作与其他使用神经质量模型研究巡回脑动力学的已发表方法进行比较非常重要。癫痫模型常用于表征癫痫发作的发作、传播和偏移[28，34，66]。如前所述，时间尺度以癫痫模型方程的功能形式明确;而它们仅隐含在本研究中描述的生理基础（规范微电路）模型中。不同速率（即时间）常数的显式参数化简化了癫痫发作的数学建模，并为计算癫痫领域的分叉提供了令人信服的癫痫分类。相比之下，CMC模型需要大量的数学推导来揭示潜在的缓慢过程;然而，慢调制的生物物理学可以证明取决于皮质柱内的突触连接。这对于理解承保癫痫的机制（例如突触病）可能很重要。

因此，我们已经证明了在没有缓慢波动变量的情况下，皮质柱表现出缓慢动力学的可能性。这种动态机制非常符合自组织原理，即系统在时间或空间尺度上显示的模式大于控制系统的局部动态。本文提供的分析进一步允许将瞬时电生理活动的统计数据（例如，尖峰频率和癫痫发作持续时间）映射到突触连接上，与癫痫模型中的介电常数变量相反或作为补充。

最后，癫痫模型所举例说明的账户与本文描述的模型之间存在关键差异。本文中推导的慢速变量（例如幅度调制）的动力学仅通过绝热近似依赖于快速变量（例如神经群内的高频活动）。换句话说，快速活动推动系统配置缓慢，从而产生隐含的慢动态。我们描述了从快速到缓慢的时间尺度的因果流，与癫痫器模型中发现的那种反馈系统相反，其中慢速变量的动力学直接影响更快的变量。本文中慢变量对快变量的依赖性使我们能够定义一个类似于物理学中的“因果关系之箭”，其中宏观变量可以从潜在的微观变量估计，反之则不然。[65，68–71]然而，我们注意到，在某些情况下（例如，周期性癫痫发作或持续时间较长的癫痫发作），可能需要从慢到快的时间尺度反馈，可能使用与癫痫模型类似的设置[28]。这说明了一些关于循环因果关系的性质以及自下而上与自上而下的因果关系的有趣问题[66，72]。原则上，这些问题可以通过适当的动态（因果）模型的贝叶斯模型比较来解决。

这里说明的方法可能与我们理解皮质功能阵发性疾病（如癫痫和癫痫发作）有关。癫痫的特征是节律性癫痫活动反复突然发作，背景是自发的“正常”发作间期持续活动。在某些情况下，癫痫的皮质活动可在两种以上的状态之间快速交替：1）节律性尖峰，2）癫痫发作活动和3）自发性背景活动[17，73]。这些状态之间的转变已经用相变和分叉来描述，其中塑造微电路动力学的突触参数超过阈值，导致相空间动力学突然变化[39]。我们的模型与之前的建模工作类似，提供了另一种观点，因为它不需要临界转变（如跨临界分叉）来解释皮质活动的变化[74]。相反，导致间歇性可观测动态现象的机制是基于噪声诱导的行程，就像在随机混沌和拓扑超对称破坏中发现的那种。换句话说，模型的随机性质将在半稳定状态之间移动系统的动力学。这种状态之间的过渡形式已经用跨临界活动来描述[39]。这项研究的新内容是，我们现在可以将观察到的变化映射到皮层内的突触连接。

对间歇性动态特征的观测原则上可以支持半稳定状态之间的分岔或过渡。请注意，我们没有提供任何证据证明这些间歇系统中没有分叉，因为这些分叉仍然存在于所提出的框架内（即改变连通矩阵仍会导致跨临界分叉）：相反，这些并不总是解释可观察的状态转换所必需的。区分这两项提案;分岔或半稳定状态转换，可能需要进一步探索状态之间转换的统计。正是通过这里介绍的可逆简化模型等工具，未来的工作将能够具体地从经验上解决这些问题;即，通过（贝叶斯）模型比较有和没有连接性变化的模型。

总之，我们介绍了皮质多重稳定性和巡回模型的理论背景，该模型可用于从瞬态动态特征的统计描述中推断潜在的突触连接。我们希望详细阐述上述理论工作，用于基于健康和疾病中可测量的电磁响应来表征全球动力学。

支持信息

附有深入的数学分析。

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S1 文本。附录轨迹的复函数将由下式给出（以模参数形式，或等效于极坐标），z我(t)=R我(t,ε,μ)e?我(ω我t+φ我((t,ε,μ)))扰动膨胀将由,R我(t,ε,μ)=R我,0,0+∑εmμnR我,m,n(t)φ我(t,ε,μ)=∑εmμnφ我,m,n(t)运动方程将由下式给出，(?R我(t,ε,μ)e?我(ω我t+φ我)?我R我(t,ε,μ)?φ我e?我(ω我t+φ我))=iεω我∑gijS(zj+zj?2)+我μω我∑gijP(zj?zj?2我)sigmoid 函数 （tanh） 可以扩展为，S(zj+zj?2)=∑r=1∞一个r(zj+zj?2)2r?1=∑r=1∞一个r[Rj(t,ε,μ)e?我(ωjt+φj)+Rj(t,ε,μ)e我(ωjt+φj)]2r?122r?1=∑r=1∞一个r(Rj,0,0+∑εnμmRj,n,m(t))2r?122r?1e?我(2r?1)(ωjt+φj)?[1+e我2(ωjt+φj)]2r?1=∑r=1∞一个r(Rj,0,0+∑εnμmRj,n,m(t))2r?122r?1e?我(2r?1)(ωjt+φj)?[∑l=02r?1(2r?1l)e我2l(ωjt+φj)]?∑r=1∞一个r(Rj,0,0+∑εnμmRj,n,m(t))2r?122r?1?[∑l=02r?1(2r?1l)e?我((2r?1)?2l)(ωjt)[∑k=0∞(?我(2r?1?2l)φj)kk!]]这P功能（电流到电流耦合）可以扩展为，P(zj?zj?2我)=∑r=1∞Br(zj?zj?2我)2r?1=我∑r=1∞Br[Rj(t,μ)e?我(ωjt+φj)?Rj(t,μ)e我(ωjt+φj)]2r?122r?1(?1)r=我∑r=1∞Br(Rj,0+∑μnRj,n(t))2r?122r?1(?1)re?我(2r?1)(ωjt+φj)?[1?e我2(ωjt+φj)]2r?1=我∑r=1∞Br(Rj,0+∑μnRj,n(t))2r?122r?1(?1)re?我(2r?1)(ωjt+φj)?[∑l=02r?1(?1)l(2r?1l)e我2l(ωjt+φj)]?我∑r=1∞(?1)rBr(Rj,0+∑μnRj,n(t))2r?122r?1?[∑l=02r?1(?1)l(2r?1l)e?我((2r?1)?2l)(ωjt)[∑k=0∞(?我(2r?1?2l)φj)kk!]]1等式 A11234567891011121314151617181920212223242526272829

扩展方程 A1 的 LHS。(?R我(t,ε,μ)e?我(ω我t+φ我)?我R我(t,ε,μ)?φ我e?我(ω我t+φ我))=[∑k=0∞(?我φ我)kk!](∑εnμm?R我,n,m(t))e?我ω我t?我(R我,0,0+∑εnμmR我,n,m(t))?(∑εnμm?φ我,n,m(t))[∑k=0∞(?我φ我)kk!]e?我ω我t等式 A1 的 RHS，乘以e我ω我t,将由以下人员提供，我ω我εe我ω我t∑gij∑r=1∞一个r(Rj,0,0+∑εnμmRj,n,m(t))2r?122r?1?[∑l=02r?1(2r?1l)e?我((2r?1)?2l)(ωjt)[∑k=0∞(?我(2r?1?2l)φj)kk!]]+我ω我μe我ω我t∑gij∑r=1∞(?1)rBr(Rj,0,0+∑μnRj,0,n(t))2r?122r?1?[∑l=02r?1(?1)l(2r?1l)e?我((2r?1)?2l)(ωjt)[∑k=0∞(?我(2r?1?2l)φj)kk!]]S1.1. 电势电流耦合我们将通过保持μ=0，仅保留这S-功能。S1.1.1 扩展ε1术语仅保留ε1LHS（等式A2）的条款将给出，ε1?R我,1,0(t)?我R我,0,0ε1?φ我,1,0(t)仅保留ε1RHS（等式A3）的条款将给出，我εω我∑gij∑r=1∞一个rRj,0,02r?122r?1[∑l=02r?1(2r?1l)e?我((2r?1)?2l)(ωjt)+我ω我t]将这些术语等同起来将给出，?R我,1,0(t)?我R我,0,0?φ我,1,0(t)=我ω我∑gij∑r=1∞一个rRj,0,02r?122r?1e?我(2r?1)(ωjt)+我ω我t[∑l=02r?1(2r?1l)e我2l(ωjt)]≡W我,1,0然后我们可以计算以下内容，?R我,1,0(t)=W我,1,0+W我,1,0?2?φ我,1,0(t)=我W我,1,0?W我,1,0?2R我,0,02等式 A2等式 A3303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465

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S1 文本。 附有深入的数学分析。

https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1010915.s001

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S2 文本。 包含论文中使用的技术术语的词汇表列表。

https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1010915.s002

（文档）

S1 图 2D椭圆体代表具有恒定EEG振幅的表面。

振幅流的空间平均值将在每个表面的正扇区 （Ri>0） 上完成。

https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1010915.s003

（提夫）

S2 图 2D 球面和 2D 椭球面面积单元。

球形（黄色）和椭圆形（蓝色）面积单位是分开的，以获得更好的可视化效果。使用球面面积单位而不是椭圆将大大简化积分，从而实现解析解。

https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1010915.s004

（提夫）

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